LU01k - Binär codierte Fliesskommazahlen

Siehe http://www.ulthryvasse.de/gleitkommazahlen.html

Fliesskommazahlen werden zur binären Codierung in drei Elemente zerlegt:

• Vorzeichen: 0 = positiv / 1 = negativ
• Exponent: Ganzzahl zwischen -127 (0000 0000₂) und +128 (1111 1111₂)
• Mantisse: Binäre Ganzzahl, immer positiv

Das IEEE-Format definiert, wie die einzelnen Elemente binär codiert werden.

• Bit 31: Vorzeichen (1 Bit)
• Bit 23 - 30: Exponent (8 Bit)
• Bit 0 - 22: Mantisse (23 Bit)

• Bit 63: Vorzeichen (1 Bit)
• Bit 52 - 62: Exponent (11 Bit)
• Bit 0 - 51: Mantisse (52 Bit)

1. Notiere das Vorzeichen (+ = '0' / - = '1') und entferne das Vorzeichen.
2. Verschiebe den Dezimalpunkt bis eine ganze Zahl entsteht, die direkt vor dem Dezimalpunkt keine Nullen hat. Diese Zahl ist die Mantisse.
   • Bei einer Ganzzahl wird der Dezimalpunkt nach links verschoben (z.B. 1500 ⇒ 15).
   • Bei einem Dezimalbruch wird der Dezimalpunkt nach rechts verschoben (z.B. 4.178 ⇒ 4178).
3. Notiere die Anzahl Stellen um die der Dezimalpunkt bei 2. verschoben wurde als Exponent.
   • Der Dezimalpunkt wurde nach links verschoben: positiver Exponent (z.B. 1500 ⇒ 15 / Zwei Stellen nach links verschoben = 2).
   • Der Dezimalpunkt wurde nach rechts verschoben: negativer Exponent (z.B. 4.178 ⇒ 4178 / Drei Stellen nach rechts verschoben = -3).
4. Addiere den Bias zum Exponenten
   • Im Short-Format ist der Bias 127
   • Im Long-Format ist der Bias 1023
5. Notiere den Exponenten als Binärzahl mit 8 (Short-Format) oder 11 (Long-Format) Stellen.
6. Notiere die Mantisse als Binärzahl mit 23 (Short-Format) bzw. 52 (Long-Format) Stellen.
   • Ist die Binärzahl kürzer als die Anzahl Stellen ⇒ Fülle die Stellen mit führenden Nullen auf.
   • Ist die Binärzahl länger als die Anzahl Stellen ⇒ Schneide die überzähligen Stellen hinten ab.

Der Bias ist ein Korrekturwert für die binäre Speicherung des Exponenten. Dieser Korrekturwert wird zum Exponenten addiert, wodurch der Exponent in der binären Speicherform immer eine positive Zahl ist. Dadurch muss das Vorzeichen des Exponenten nicht gespeichert werden.

• Eine Fliesskommazahl im Short-Format hat einen Exponenten von -127 bis +128.
• Wir addieren den Bias von 127 zum Exponenten: Gespeichert wird dadurch ein Exponent von +0 bis +255.

In beiden Beispielen verwenden wir das 32 Bit Short-Format.

Für Fliesskommazahlen im Long-Format gilt das gleiche Vorgehen. Die Unterschiede in der binären Speicherung sind:

• Die binäre Speicherung des Exponenten umfasst 11 Stellen.
• Der Bias ist 1023 statt 127.
• Die binäre Speicherung der Mantisse umfasst 52 Stellen

Die Umwandlung einer exponentiellen Zahl wie -8.79E2 bzw. -8.79*10² kann über den Umweg einer “normalen” Dezimalzahl erfolgen.

Sie können den Umweg über eine Dezimalzahl auch auslassen:

• Führen Sie die Schritte 1 bis 3 aus.
• Im Schritt 3 addieren Sie den ursprünglichen Exponenten zur Anzahl der Stellen, um die der Dezimalpunkt verschoben wurde.
• Führen Sie anschliessend Schritt 5 und 6 aus.

Binäre Zahlen können nur Brüche wie 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, … darstellen. Daher kann es zu Rundungsfehlern kommen, wenn diese ins Dezimalsystem übertragen werden. Dies liegt daran, dass zur Darstellung eines Dezimalbruchs relativ viele binäre Stellen benötigt werden.

Marcel Suter